La macchina di Galton

Oggi voglio parlarvi di questo fantastico marchingegno, così semplice e allo stesso tempo ricco di matematica, statistica e probabilità a dirla tutta.

Torniamo alla protagonista di questo articolo: la macchina di Galton. Per prima cosa però provo a rispondere alla domanda che vi sarete posti: e chi sarebbe mai sto Galton?

Siamo in pieno Ottocento. Sir Francis Galton,  un omone con le basette giganti che gli scendono per il viso, cugino del celeberrimo Charles Darwin, fu un prolifico intellettuale scrittore di più di 340 fra articoli e libri. Il suo CV non può riassumersi di certo in queste sole due righe. Fu un esploratore, un metereologo (se sentite parlare di anticicloni è perché l’ha coniato lui questo termine), fu il fondatore di una nuova disciplina da lui denominata eugenetica, che per chi se lo stesse domandando indica tutto un insieme di teorie e pratiche miranti a migliorare la qualità genetica di una certa popolazione umana. E poi ancora impronte digitali. Eh sì, costui dedicò svariati volumi e articoli all’esposizione dei suoi studi sulle impronte digitali. Misurò la probabilità che due individui diversi potessero possedere le medesime impronte, indagò l’ereditarietà e ideò un sistema per la loro classificazione. Il metodo di identificazione mediante impronte digitali e il suo uso in ambito criminale ottenne grazie al suo lavoro una solida base scientifica che permise lo sviluppo e le applicazioni di questo metodo, favorendone quindi l’effettiva adozione nelle aule giudiziarie.

Matematica! Ha usato in lungo e in largo la matematica. E dire che non completò nemmeno gli studi a Cambridge.

Tra uno studio e l’altro ideò la sua macchina, la Quinconce. Si tratterebbe di uno strumento di facile realizzazione (legno, chiodi, colla, martello e tanta precisione) ma è la matematica che vi si trova celata all’interno ad essere fenomenale.

Come è fatta:

Possiamo facilmente schematizzarla con la seguente immagine:

Galton13pic

Dall’alto si fanno cadere delle biglie. Queste urtano con una serie di perni disposti in modo regolare come in figura, in modo che di urto in urto la biglia scelga se imboccare il percorso a destra o a sinistra del perno, tracciando così un percorso che la condurrà all’interno di una delle colonne in basso. A far muovere il tutto, verso il basso, ci pensa la gravità. Per questo motivo certi percorsi non saranno possibili.

GaltonWrongpic

Come funziona:

La biglia appena fuoriuscita dal foro in cima scontrandosi col primo perno potrà o andare a destra o a sinistra con la stessa probabilità (½ e ½), analogamente raggiunto il secondo livello e così via. Ogni colonna in basso ha dei percorsi che la raggiungono, chi più chi meno.

Per semplicità limitiamoci ad caso qui rappresentato, ovvero con sole cinque colonne. Le linee colorante rappresentano i quattro percorsi che può seguire una biglia per arrivare nella seconda colonna. Non vi sono altri percorsi possibili per giungere in quella colonna.

Galton4pic

Capirete bene, guardando l’immagine, che per arrivare nella prima colonna ci sia solamente una strada percorribile. Poiché poi la macchina di Galton è perfettamente simmetrica anche l’ultima colonna sarà raggiunta da un solo possibile percorso e, sempre per simmetria, avremo solo 4 percorsi che portano alla penultima sezione. Rimane da analizzare quella centrale. Vi dico che ci sono 6 soli percorsi, lascio a voi trovarle.

Ricapitolando: spostandoci verso il centro i percorsi che portano ad una determinata colonna aumentano e inoltre il problema è simmetrico.

All’inizio ho fatto presente che avremmo parlato di probabilità, vediamo in che senso: per l’esempio su fatto possiamo individuare 16 differenti possibili percorsi (1+4+6+4+1 per intenderci). Tutti questi percorsi sono equiprobabili ovvero v’è la medesima probabilità che la biglia compia uno qualunque di questi percorsi. Quindi quale è la probabilità che la biglia inbocchi uno qualunque di quei percorsi? 1/16.

Ma se considerassimo come eventi di studio “la biglia finisce il suo percorso nella colonna centrale” e “la biglia finisce il suo percorso nella seconda colonna” capiamo che i due eventi non sono equivalenti affatto. Il primo dei due ha probabilità 6/16 di accadere, il secondo 4/16. Percorsi equiprobabili ma più percorsi che portano alla stessa sezione. C’è così una maggiore probabilità che una biglia arrivi al centro piuttosto che ai bordi.

Ma c’è un modo per calcolare quei numeri?

Almeno due! Uno più complesso che fa uso del calcolo combinatorio e del concetto di binomiale che tralasciamo in questa sede, ed uno più immediato e semplice. Parliamo del triangolo di Tartaglia.

La costruzione di questo triangolo è abbastanza semplice. Si parte dall’alto con un 1 e si prosegue scendendo. Il 2 così sarà la somma dei due numeri al di sopra, il 4 la somma di 1 e 3 e così via. La quinta riga riporta proprio i numeri 1-4-6-4-1 del nostro esempio. Facile no?

E la statistica?

Finora abbiamo analizzato il problema da un punto di vista perfetto, rigoroso, numerico, probabilistico.  Lasciando cadere delle biglie invece si vengono a presentare interazioni tra queste, attriti, urti talmenti casuali e caotici che non potremmo mai riuscire a modellizzarli. Quello a cui si assiste è che lasciando cadere un grande numero di biglie all’interno esse si andranno a distribuire all’incirca con le medesime probalità sopra indicate andando a disegnare la curva . Maggiore è il numero di biglie, migliore sarà l’approssimazione ottenuta. E all’aumentare delle colonne si viene a creare un’immagine nota ai più come curva a campana o curva gaussiana.

Galton13

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